Salah satu ilmu cabang matematika yang menjadi wajib untuk dipelajari yakni budi matematika. Ilmu ini menggabungkan ilmu budi dan ilmu matematika sebagai kuncinya dan ialah landasan dasar untuk mengambil sebuah kesimpulan. Mempelajari ilmu ini sangat penting sebab menjadi konsep dasar untuk memilih benar atau salahnya sebuah kesimpulan.
Ada setidaknya 11 macam bahan terkena logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 bahan tersebut yakni pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan ialah sebuah kalimat yang sanggup ditetapkan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak sanggup ditetapkan keduanya. Sebuah kalimat sanggup ditetapkan sebagai pernyataan kalau sanggup ditentukan benar atau salahnya. Jika ialah sebuah kalimat relative, maka tidak sanggup ditentukan sebagai pernyataan.
Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya tidak sama dari segi kepastiannya.
1. Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) ialah pernyataan yang belum sanggup dipastikan nilai kebenaran atau salahnya.
2. Pernyataan tertutup(kalimat tertutup) yakni adalah pernyataan yang sudah sanggup dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
misal budi matematika:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) dan 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut sanggup dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Agar lebih memahaminya, diberikut contohnya,
Pernyataan relatif:
Musik pop ialah musik yang sangat senang (Merupakan pernyataan relatif sebab tidak tiruana orang menyukai musik pop)
Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, sebab sebagian orang menyampaikan bersahabat sebab sanggup ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana yakni pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “tidak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Negasi biasanya ditetapkan dengan symbol . Agar lebih memahaminya, diberikut referensi untuk kalimat negasi.
misal Negasi:
Pernyataan A:
Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A:
Tidak benar bahwa tiruana sungai mengalir ke samudera.
Dalam budi matematika, aturan konjungsi yakni benar spesialuntuk kalau kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah kalau salah satu pernyataan atau keduanya yakni salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan memakai tanda ^ yang berarti “dan”.
Untuk lebih jelasnya, silahkan perhatikan klarifikasi dibawah ini.
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi memakai symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi yakni apabila salah satu dari dua pernyataan ialah benar, maka hasilnya yakni benar. Namun kalau keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.
Berikut penjelasannya.
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Konsep implikasi yakni konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini ialah konsep dari implikasi untuk dipahami.
Untuk p benar dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi spesialuntuk ditetapkan salah kalau pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Biimplikasi ialah pernyataan yang spesialuntuk akan menyatakan benar kalau kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar kalau keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.
Dalam budi matematika, untuk menyatakan biimplikasi yakni memakai symbol ⇔ yang mempunyai arti ”p.. kalau dan spesialuntuk kalau q..”.
Agar lebih jelas, diberikut pembahasan singkatnya.
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Sesudah mengetahui bahan dasar terkena budi matematika, selanjutnya yakni mempelajari terkena ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya yakni dua pernyataan beragam yang tidak sama namun mempunyai nilai yang sama atau ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam budi matematika yakni “≡“.
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen yaitu:
Ingkaran Konjungsi: (p ˄ q) ≡ p ˅ q
Ingkaran Disjungsi: (p ˅ q) ≡ p ˄ q
Ingkaran Implikasi: (p ⇒ q) ≡ p ^ q
Ingkaran Biimplikasi: (p ⇔ q) ≡ (p ^ q) v (q ^ p)
Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi ialah pernyataan yang spesialuntuk berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi mempunyai ketiga pernyataan tersebut.
Agar lebih praktis dalam pemahamannya, diberikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya yakni q⇒p
Inversnya yakni p⇒ q
Sedangkan untuk kontraposisinya yakni q⇒ p
Kuantor pernyataan ialah sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum yakni pernyataan yang memakai “untuk setiap” atau “untuk tiruana”. Simbol yang dipakai yakni x.
misal:
Pernyataan “tiruana bunga yakni indah”. Maka notasinya yakni (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus yakni pernyataan yang memakai “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang dipakai yakni Ǝx.
misal:
Pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya yakni (Ǝx),Jx
Sama menyerupai pernyataan, kuantor juga mempunyai negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini yakni bahwa negasi dari kuantor universal yakni kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai referensi adalah:
p : tiruana bunga yakni indah
p : tiruana bunga tidaklah indah.
Penarikan kesimpulan ialah bahan terakhir dalam budi matematika. Kesimpulan sanggup ditarik dari premis atau pernyataan yang sudah ada. Ada tiga metode untuk melaksanakan penarikan kesimpulan.
Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya kalau diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya yakni q.
misal:
Premis 1: Jika trend semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q
Kesimpulan: p
misal:
Premis 1: Jika trend cuek tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang trend dingin.
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
misal:
Premis 1: Jika trend gerah tiba, hutan akan kekeenteng.
Premis 2: Jika hutan kekeenteng maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika trend gerah tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas diperlukan sanggup memmenolong dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu budi matematika sering dipakai dalam metode penelitian dan acara akademik lainnya.
Ada setidaknya 11 macam bahan terkena logika matematika yang akan dibahas dibawah ini. 11 bahan tersebut yakni pernyataan, disjungsi, negasi, konjungsi, implikasi, biimplikasi, kontradiksi, tautology, kalimat berkuantor, kalimat equivalen, dan penarikan kesimpulan. Berikut pembahasannya. Disjungsi, konjungsi, implikasi dan biimplikasi disebut juga sebagai pernyataan majemuk.
Pernyataan
Pada dasarnya, dalam ilmu matematika pernyataan ialah sebuah kalimat yang sanggup ditetapkan sebagai pernyataan yang benar maupun salah, namun tidak sanggup ditetapkan keduanya. Sebuah kalimat sanggup ditetapkan sebagai pernyataan kalau sanggup ditentukan benar atau salahnya. Jika ialah sebuah kalimat relative, maka tidak sanggup ditentukan sebagai pernyataan.
Pernyataan dibagi menjadi dua jenis, yaitu pernyataan terbuka dan pernyataan tertutup. Keduanya tidak sama dari segi kepastiannya.
1. Pernyataan terbuka(kalimat terbuka) ialah pernyataan yang belum sanggup dipastikan nilai kebenaran atau salahnya.
misal budi matematika:
Penyataan terbuka: Bapak Presiden akan mengunjungi Kota Makassar besok pagi (kalimat yang harus dibuktikan terlebih lampau).
2. Pernyataan tertutup(kalimat tertutup) yakni adalah pernyataan yang sudah sanggup dipastikan baik nilai benar maupun salahnya.
misal budi matematika:
Pernyataan tertutup: 60 + 40 = 100 (benar) dan 200:4 = 60 (salah). Kedua pernyataan tersebut sanggup dipastikan kebenaran dan kesalahannya.
Ada satu pernyataan lagi yang disebut dengan pernyataan relatif, Pernyataan ini ialah pernyataan yang sanggup benar namun juga salah.
Agar lebih memahaminya, diberikut contohnya,
Pernyataan relatif:
Musik pop ialah musik yang sangat senang (Merupakan pernyataan relatif sebab tidak tiruana orang menyukai musik pop)
Jarak Jakarta-Kualalumpur sangatlah jauh (Juga termasuk pernyataan relatif, sebab sebagian orang menyampaikan bersahabat sebab sanggup ditempuh kurang dari 2 jam perjalanan udara).
Negasi atau ingkaran
Negasi dalam bahasa yang lebih sederhana yakni pernyataan ingkaran. Ingkaran biasanya dimulai dengan kata “tidak benar bahwa…” untuk menyanggah kalimat sebenarnya. Negasi biasanya ditetapkan dengan symbol . Agar lebih memahaminya, diberikut referensi untuk kalimat negasi.
misal Negasi:
Pernyataan A:
Semua sungai mengalir ke samudera
Negasi atau ingkaran dari pernyataan A:
Tidak benar bahwa tiruana sungai mengalir ke samudera.
Pernyataan Majemuk
Pernyataan beragam dalam budi matematika terdiri atas konjungsi , disjungsi , implikasi , dan biimplikasi dibawah ini kami diberi penjelasannya masing-masing:Konjungsi
Dalam budi matematika, aturan konjungsi yakni benar spesialuntuk kalau kedua pernyataan benar. Pernyataan akan salah kalau salah satu pernyataan atau keduanya yakni salah. Dua pernyataan dalam konjungsi digabungkan dengan memakai tanda ^ yang berarti “dan”.
Tabel Kebenaran Konjungsi
p | q | P ^ q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p dan q yakni benar |
B | S | S | Jika p benar dan q salah maka p dan q yakni salah |
S | B | S | Jika p salah dan q benar maka p dan q yakni salah |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p dan q yakni salah |
Untuk p benar dan q benar, (p^q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p^q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p^q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p^q) == salah
Disjungsi
Berbeda dengan sistem yang diterapkan pada konjungsi, disjungsi memakai symbol ˅ yang berarti “atau”. Hukum disjungsi yakni apabila salah satu dari dua pernyataan ialah benar, maka hasilnya yakni benar. Namun kalau keduanya salah, maka pernyataan dianggap salah.
Tabel Kebenaran Disjungsi
p | q | P v q | Logika matematika |
B | B | B | Jika p benar dan q benar maka p atau q yakni benar |
B | S | B | Jika p benar dan q salah maka p atau q yakni benar |
S | B | B | Jika p salah dan q benar maka p atau q yakni benar |
S | S | S | Jika p salah dan q salah maka p atau q yakni salah |
Untuk p benar dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q benar, (p˅q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p˅q) == salah
Implikasi
Konsep implikasi yakni konsep penyesuaian. Dua pernyataan dihubungkan dengan symbol ⇒ yang berarti “Jika p… maka q…”. Berikut ini ialah konsep dari implikasi untuk dipahami.
Tabel Kebenaran Implikasi
p | q | p => q | Logika matematika |
B | B | B | Jika pertamanya BENAR kemudian alhasil BENAR maka dianggap BENAR |
B | S | S | Jika pertamanya BENAR kemudian alhasil SALAH maka dianggap SALAH |
S | B | B | Jika pertamanya SALAH kemudian alhasil BENAR maka dianggap BENAR |
S | S | B | Jika pertamanya SALAH kemudian alhasil SALAH maka dianggap BENAR |
Untuk p benar dan q salah , (p⇒q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇒q) = benar
Untuk p salah dan q salah, (p⇒q) = benar
Kesimpulannya adalah, dalam implikasi spesialuntuk ditetapkan salah kalau pernyataan pertama benar, namun pernyataan kedua salah.
Biimplikasi
Biimplikasi ialah pernyataan yang spesialuntuk akan menyatakan benar kalau kedua pernyataan menyatakan kesamaan nilai, baik benar maupun salah. Maksudnya adalah, pernyataan dianggap benar kalau keduanya sama-sama salah maupun sama-sama benar.
Dalam budi matematika, untuk menyatakan biimplikasi yakni memakai symbol ⇔ yang mempunyai arti ”p.. kalau dan spesialuntuk kalau q..”.
Tabel Kebenaran Biimplikasi
p | q | p ó q | Logika matematika |
B | B | B | P yakni BENAR kalau dan spesialuntuk kalau q yakni BENAR (dianggap benar) |
B | S | S | P yakni BENAR kalau dan spesialuntuk kalau q yakni SALAH (dianggap salah) |
S | B | S | P yakni SALAH kalau dan spesialuntuk kalau q yakni BENAR (dianggap salah) |
S | S | B | P yakni SALAH kalau dan spesialuntuk kalau q yakni SALAH (dianggap benar) |
Untuk p benar dan q benar, (p⇔q) = benar
Untuk p benar dan q salah , (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q benar, (p⇔q) = salah
Untuk p salah dan q salah, (p⇔q) = benar
Ekuivalensi pernyataan majemuk
Sesudah mengetahui bahan dasar terkena budi matematika, selanjutnya yakni mempelajari terkena ekuivalensi pernyataan majemuk. Maksudnya yakni dua pernyataan beragam yang tidak sama namun mempunyai nilai yang sama atau ekuivalen. Notasi ekuivalen dalam budi matematika yakni “≡“.
Bentuk-bentuk pernyataan yang saling ekuivalen yaitu:
Ingkaran Pernyataan Majemuk
Ingkaran Konjungsi: (p ˄ q) ≡ p ˅ q
Ingkaran Disjungsi: (p ˅ q) ≡ p ˄ q
Ingkaran Implikasi: (p ⇒ q) ≡ p ^ q
Ingkaran Biimplikasi: (p ⇔ q) ≡ (p ^ q) v (q ^ p)
Konvers, invers, dan kontraposisi
Ketiga pernyataan konvers, invers dan kontraposisi ialah pernyataan yang spesialuntuk berlaku untuk pernyataan implikasi saja. Setiap pernyataan implikasi mempunyai ketiga pernyataan tersebut.
Agar lebih praktis dalam pemahamannya, diberikut ringkasannya.
Diketahui sebuah implikasi p⇒q,
Maka konversnya yakni q⇒p
Inversnya yakni p⇒ q
Sedangkan untuk kontraposisinya yakni q⇒ p
Kuantor pernyataan
Kuantor pernyataan ialah sebuah bentuk dari pernyataan yang mengandung nilai kuantitas didalamnya. Ada dua jenis kuantor pernyataan, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
Kuantor universal yang disebut juga kuantor umum yakni pernyataan yang memakai “untuk setiap” atau “untuk tiruana”. Simbol yang dipakai yakni x.
misal:
Pernyataan “tiruana bunga yakni indah”. Maka notasinya yakni (∀x), [ B(x) → I(x) ]
Sedangkan kuantor eksistensial atau kuantor khusus yakni pernyataan yang memakai “beberapa”, “terdapat, dan “ada”. Simbol yang dipakai yakni Ǝx.
misal:
Pernyataan” Ada bunga yang jelek”. Maka notasinya yakni (Ǝx),Jx
Ingkaran dari pernyataan kuantor
Sama menyerupai pernyataan, kuantor juga mempunyai negasi atau ingkaran. Hukum negasi ini yakni bahwa negasi dari kuantor universal yakni kuantor eksistensial dan sebaliknya. Sebagai referensi adalah:
p : tiruana bunga yakni indah
p : tiruana bunga tidaklah indah.
Penarikan kesimpulan
Penarikan kesimpulan ialah bahan terakhir dalam budi matematika. Kesimpulan sanggup ditarik dari premis atau pernyataan yang sudah ada. Ada tiga metode untuk melaksanakan penarikan kesimpulan.
Modus ponens
Modus ponens mempunyai rumus: premis 1: p→q, premis 2: p, kesimpulan: q. Artinya kalau diketahui p→q dan p, maka kesimpulannya yakni q.
misal:
Premis 1: Jika trend semi tiba, bunga mekar.
Premis 2: Musim semi tiba
Kesimpulan: Bunga mekar.
Modus Tollens
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q
Kesimpulan: p
misal:
Premis 1: Jika trend cuek tiba, maka danau akan membeku.
Premis 2: Danau tidak membeku
Kesimpulan: Tidak sedang trend dingin.
Silogisme
Rumus:
Premis 1: p→q
Premis 2: q→r
Kesimpulan: p→r
misal:
Premis 1: Jika trend gerah tiba, hutan akan kekeenteng.
Premis 2: Jika hutan kekeenteng maka pepohonan akan mati.
Kesimpulan: Jika trend gerah tiba, maka pepohonan akan mati.
Pembahasan sederhana diatas diperlukan sanggup memmenolong dalam memahami Matematika. Karena bagaimanapun juga, ilmu budi matematika sering dipakai dalam metode penelitian dan acara akademik lainnya.
